Begreppet kontinuerlig används inom matematiken för att beskriva egenskaper hos funktioner. En lättförståelig, men också förvirrande, beskrivning av begreppet brukar göras genom att likna kontinuitet vid att rita ett streck med en penna. Om funktionen är kontinuerlig går det att rita dess graf med ett streck utan att lyfta pennan. Det stämmer förvisso att en sådan funktion är kontinuerlig men även diskreta funktion är kontinuerliga. Och dessa är svåra att rita ut med ihållande streck.
Så vad är då en kontinuerlig funktion?
Vi definierar begreppet kontinuitet med hjälp av ett gränsvärde.
Låt x=a tillhöra definitionsmängden till funktionen . Funktionen f är då kontinuerlig i x=a om gränsvärdet
\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)Detta medför att en funktion är kontinuerlig om ovan gäller för alla punkter som ingår i dess definitionsmängd. Viktigt för att förstå detta är att trycka på formuleringen “alla punkter som ingår i dess definitionsmängd” eller “alla x som ingår i dess definitionsmängd”. Detta är avgörande för att förstå definitionen av kontinuitet.
Exempel
Beakta följande tre utritade grafer.
- Fig 1 – Kontinuerlig funktion
- Fig 2 – Icke-Kontinuerlig funktion
- Fig 3 – Kontinuerlig funktion – Exempel på funktion där vi luras att tro att den inte är kontinuerlig men där den är det. Detta då den är kontinuerlig i sin egen definitionsmängd.