Funktionsbegreppet

Ordet funktion kan syfta till många olika betydelser beroende på i vilket sammanhang det används. Den matematiska betydelsen beskrivs i den här artikeln.

En funktion är en regel som är kopplad till två mängder. Den ena mängden kallas för definitionsmängd D och den andra för målmängd M.

Definition: En funktion f är en regel sådan att den definierar exakt ett element i M till varje element i D. Detta skrivs formellt som f:D \rightarrow M

Detta skrivs oftast som f(a) = b där b är det unika elementet i målmängden och a är elementet i definitionsmängden. Om exempelvis f(x) = \frac{x^3}{2} och x=3 så ges f(3)=\frac{3^3}{2}=\frac{27}{2}.

I detta sammanhang är det också värt att stanna upp och diskutera värdemängden V. Värdemängden är en delmängd till målmängden och består av alla de tal f(a) som kan antas när a går igenom hela definitionsmängden. Frågan är då vilken skillnad det är mellan målmängd och värdemängd? Om exempelvis definitionsmängden är alla heltal och vi låter f vara en funktion f(x)=x^2. Då antar funktionen endast positiva värden. Värdemängden är då alla positiva heltal medan målmängden kan sägas vara vilken mängd som helst som innehåller dessa positiva heltal. Vanligt är att följande bild används där grönt område är definitionsmängd, gult är värdemängd och grått målmängd.

Surjektiva, injektiva och bijektiva funktioner

Funktioner kan delas in på följande vis:

  • Om det finns minst ett element i M för varje element i D så kallas funktionen för surjektiv.
  • Om det finns som mest ett element i M för varje element i D så kallas den istället injektiv.
  • Om funktionen är både surjektiv och injektiv så är den även bijektiv.

bildkälla: https://sv.wikipedia.org/wiki/M%C3%A5lm%C3%A4ngd

Navigation