Matematiken innehåller många olika typer av uttryck och tal och ett av dem är bråktal eller rationella tal. Att derivera bråk kan först verka utmanande, men med rätt förståelse och tekniker kan det öppna upp för en mer effektiv hantering när du deriverar funktioner. I detta blogginlägg kommer vi att utforska grunderna i att derivera bråk och visa hur denna process kan tillämpas på olika typer av funktioner.

Grundläggande regler för att derivera bråk

Att derivera bråk kan vara komplicerat, men med de rätta reglerna blir det betydligt enklare. Låt oss börja med några grundläggande regler för att derivera bråk:

Kvotregeln

Det första regeln som du behöver känna till är kvotregeln som säger följande:

y= \frac{f(x)}{g(x)} \text{ där } g(x) \neq 0   \\
y'= \frac{f'(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

Produktregeln

Den andra regeln vi behöver kunna är produktregeln.

y=f(x) \cdot g(x) \\
y'=f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)

Exempel: Derivera funktioner som innehåller bråkuttryck

Nu har vi de teoretiska grunderna för att börja derivera funktioner som innehåller bråkuttryck. Så nästa steg är att se derivatan av några enklare funktioner.

Exempel 1

f(x)= \frac{x^2}{2}

Vi skriver först om uttrycket så att vi ser att vi kan derivera det här som en vanlig polynomfunktion.

f(x)= \frac{x^2}{2}=\frac12 \cdot x^2

Derivatan blir

f´(x)=2 \cdot \frac12 \cdot x^{2-1}=x

Exempel 2

Betrakta funktionen

y= \frac{x^2}{x+1}

När vi deriverar denna gör vi enligt följande:

1. Vi sätter f(x)=x^2 och g(x)=x+1
2. f´(x)=2x
3. g´(x)=1
4. Vi tillämpar kvotregeln och får derivatan y´(x)=\frac{2x \cdot (x+1)- 1 \cdot x^2}{(x+1)^2}
5. När detta förenklas får vi slutligen

y´(x)=\frac{2x \cdot (x+1)- 1 \cdot x^2}{(x+1)^2}=\frac{2x^2 + 2x-x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

Slutsats

Genom att applicera kvotregeln och andra derivatatekniker kan vi alltså bestämma derivator av funktioner som innehåller bråk (rationella uttryck). Om du lär dig att hantera dessa regler och övar regelbundet så att det blir så effektivt och naturligt för dig som möjligt så kommer det bli mycket roligare med matematik som denna.

En fråga som ofta dyker upp när man skall derivera uttryck är hur man deriverar roten ur uttryck? För att kunna göra det behöver du känna till en potensregel. När du väl gör det så blir det enkelt.

Potensregeln

Den potensregel som används för att först skriva om uttrycket är följande.

a^{\frac1b}= a^{-b}

När du väl har skrivit om uttrycket så kan du tillämpa deriveringsregeln

f(x)=k \cdot x^n \\
f´(x)=n \cdot k^{n-1}

Derivera roten ur x

Exempel: Derivera f(x) = \sqrt{x}

Vi använder potensregeln ovanför och skriver om funktionsuttrycket till f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac12}

Nu deriverar vi uttrycket och får f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac12} = \frac{x^{-\frac12}}{2} .

Det går att svara så som det står här ovanför men du kan skriva om det med hjälp av potensregeln a^{-b}=\frac{1}{a^b} .

Då får vi f'(x) = \frac{1}{2 \cdot x^{\frac12}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}

På det här viset kan du derivera liknande uttryck som innehåller roten ur.