Inom den matematiska gren som kallas för analys är ett grundbegrepp derivata. Detta verktyg inom analysen används för att kunna analysera funktioner och hur de beter sig. Det grundar sig på gränsvärdesbegreppet och för att kunna definiera vad derivata är krävs en diskussion om gränsvärde. Här diskuterar vi det först, därefter lutning för en linjär funktion och begreppen sekant och tangent. Till slut definieras derivata.

Gränsvärden

Med ett gränsvärde undersöks beteendet hos en funktion och dess funktionsuttryck f(x) när vi låter x “gå mot” ett värde. För att beteckna gränsvärdet används det engelska ordet limes som förkortas till lim. För att beskriva att x går mot ett värde används en pil x \rightarrow a, detta uttrycks som “x går mot a“. Med hjälp av pilen kan vi även uttrycka att funktionsuttrycket f(x) går mot ett värde när x går mot ett annat värde. Detta kan skrivas som f(x) \rightarrow 0x \rightarrow a.

Med lim uttrycks samma sak genom \lim\limits_{x \to a} f(x) = 0. I fortsättningen används detta skrivsätt när gränsvärden behandlas.

Exempel 1

Betrakta funktionen f(x)=x^2. Beräkna sedan gränsvärdet \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}

= \lim\limits_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h(2x+h)}{h}

= \lim\limits_{h \to 0} 2x+h = 2x

Gränsvärdet ovan är intressant för dig som vill förstå derivata. Mer om det nedan.

Lutningen för en linjär funktion

Linjära funktioner skrivs på formen f(x)=kx+m där riktningskoefficienten k betecknar linjens lutning. Detta k beskriver alltså om linjen lutar “uppåt”, “nedåt” eller beskriver om linjen är helt horisontell. Trevligt nog för dig som vill komma ihåg gäller att ett positivt k säger att linjen lutar uppåt och vice versa för negativt k. Observera att den helt lodräta linjen inte är en linjär funktion och därmed inte har något k.

För två punkter (x_1,y_1), \, (x_2,y_2) på kurvan så gäller att k= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Exempel 2

Lutningen för den linjära funktionen f som går genom (1,3), \, (5,-3) är k= \frac{-3-3}{5-1}=-\frac{6}{4}=-1,5.

Sekant och tangent

Två typer av linjer är sekant och tangent. En sekant är en linje som skär en graf i två punkter. En tangent är istället en linje som kan sägas “vidröra” (bildligt beskrivet) en funktions kurva i en punkt.

Den bildliga beskrivningen ovan av tangent fungerar men är inte särskilt tydlig. Istället kan vi utgå från en bild av en sekant som “gradvis” rör sig mot att bli en tangent för att definiera begreppet. I processen där vi gör detta så närmar vi oss också förståelse av derivatans definition.

Sekanternas lutning i bilden beskrivs av \frac{f(b)-f(a)}{b-a} då sekanten går genom (a,f(a)), \, (b,f(b)). Vi kan ni tänka oss att sekanten går mot att istället bli en tangent. Det går den om vi låter h \rightarrow 0. Därmed kan vi fördjupa vår bildliga beskrivning av tangent ovan och istället använda gränsvärdet nedan för att beskriva tangentens lutning.

k=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Faktum är detta sätta att beskriva en tangents lutning är innebörden av derivata. Derivata eller att en funktion är deriverbar i x = a kan förstås som att gränsvärden ovan existerar.

Derivatans definition

Låt x = a vara en punkt som är definierad för funktionen f. Då är f deriverbar om gränsvärdet

\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

existerar.

Exempel 3

Betrakta funktionen f(x)=x^2. Beräkna sedan derivatan då f(x)=3

Med hjälp av derivatans definition kan vi ställa upp och ta fram derivatan.

\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{9+6h+h^2-9}{h}

= \lim\limits_{h \to 0} \frac{6h+h^2}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h(6+h)}{h}

= \lim\limits_{h \to 0} 6+h = 6

Jämför detta med exempel 1

Beteckningar av derivata

Förkortat skrivs derivata som f´(x) som du utläser som “f prim av x”. Andra sätt att beteckna derivata är Df, \frac{df}{dx}

Diskussion om innebörd av derivata

Ovan förs en diskussion om hur man kan beskriva tangentens lutning som derivata. Det är också helt rimligt att gå vägen via gränsvärde, sekant, tangent för att därefter definiera och förstå begreppet. Viktigt i det här sammanhanget är att derivatan och beskriver förändringshastighet. En bil som färdas mellan a och b har förstås en medelhastighet under tiden som färden tar. Men bilen har också en momentan hastighet i varje ögonblick under färdens gång. Detta är denna förändringshastighet som derivata beskriver. Därför kan vi beskriva denna förändringshastighet i varje ögonblick för bilen med hjälp av derivata så länge vi har ett sätt att beskriva dess färd med en funktion f.

Navigation